Ретракт

Ретракттопологического пространства${\displaystyle X}$ — подпространство ${\displaystyle A}$ этого пространства, для которого существует ретракция${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle A}$; то есть непрерывное отображение${\displaystyle f:X\to A}$, тождественное на ${\displaystyle A}$ (то есть такое, что ${\displaystyle f(x)=x}$ при всех ${\displaystyle x\in A}$).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

• Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
• Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
• ${\displaystyle n}$-мерная сфера не является ретрактом ${\displaystyle (n+1)}$-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу ${\displaystyle H_{n}}$. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

• Подпространство ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется окрестностным ретрактом, если в ${\displaystyle X}$ существует открытое подпространство, содержащее ${\displaystyle A}$, ретрактом которого является ${\displaystyle A}$.
• Метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего ${\displaystyle X}$ в качестве замкнутого подпространства.
• Если ретракция пространства ${\displaystyle X}$ на его подпространство ${\displaystyle A}$ гомотопна тождественному отображению пространства ${\displaystyle X}$ на себя, то ${\displaystyle A}$ называется деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle X}$.
• Линейный оператор${\displaystyle P}$ в топологическом векторном пространстве${\displaystyle E}$, являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство ${\displaystyle F}$ топологического векторного пространства ${\displaystyle E}$ называется дополняемым, если существует непрерывный проектор ${\displaystyle P\colon E\to F}$.

• Подпространство ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства ${\displaystyle A}$ в произвольное топологического пространство ${\displaystyle Y}$ можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.
• Если пространство ${\displaystyle X}$ — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства ${\displaystyle X}$ замкнут в ${\displaystyle X}$.
• Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  • компактность,
  • связность,
  • линейная связность,
  • сепарабельность,
  • ограничение сверху на размерность,
  • паракомпактность,
  • нормальность,
  • локальная компактность,
  • локальная связность.
• Если пространство ${\displaystyle X}$ имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения ${\displaystyle f:X\to X}$ существует точка ${\displaystyle x\in X}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=x}$, то и каждый ретракт пространства ${\displaystyle X}$ обладает свойством неподвижной точки.
• Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
• Ретракция индуцирует эпиморфизмгрупп гомологий.

• Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.
• Куратовский К., Топология том 1, пер. с англ., стр 112, 1966

У этой статьи есть 2 проблемы, помогите их исправить:

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(13 мая 2014)

Раздел литературы нуждается в оформлении согласно рекомендациям.

Пожалуйста, оформите его согласно образцам здесь.(13 мая 2014)

Пожалуйста, после исправления проблемы удалите соответствующий шаблон. Узнать, как это сделать, можно на справочной странице.