Образ (математика)

Образфункции — это множество всех значений данной функции.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции ${\displaystyle f}$ для каждого элемента заданного подмножества ${\displaystyle A}$области определения функции даёт множество, называемое «образом${\displaystyle A}$ для функции ${\displaystyle f}$». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества ${\displaystyle B}$кодомена функции ${\displaystyle f}$ — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества ${\displaystyle B}$.

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Термин «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — это функция из множества${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$.

Если ${\displaystyle x}$ является элементом множества ${\displaystyle X}$, то образ элемента ${\displaystyle x}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f(x)}$^[1], — это значение функции ${\displaystyle f}$ для аргумента ${\displaystyle x}$.

Образ подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f[A]}$, является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$, которое может быть определено с помощью следующей формы записи^[2]:

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$.

Если нет риска путаницы, ${\displaystyle f[A]}$ записывается просто как ${\displaystyle f(A)}$. Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает ${\displaystyle f[.]}$ функцией, областью определения которой является степень множества${\displaystyle X}$ (множество всех подмножеств множества ${\displaystyle X}$), а кодоменом является степень множества ${\displaystyle Y}$. См. раздел § Обозначения.

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции^[3].

Если ${\displaystyle R}$ является произвольным бинарным отношением на прямом произведении${\displaystyle X\times Y}$, то множество ${\displaystyle \{y\in Y\|xRy,x\in X\}}$ называется образом отношения ${\displaystyle R}$. Множество ${\displaystyle \{x\in X|xRy,y\in Y\}}$ называется областью определения отношения ${\displaystyle R}$.

Пусть ${\displaystyle f}$ будет функцией из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Прообраз, или обратный образ, множества ${\displaystyle B\subseteq Y}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f^{-1}[B]}$, — это подмножество ${\displaystyle X}$, определённое как

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

Возможны и другие обозначения, как например ${\displaystyle f^{-1}(B)}$^[4] и ${\displaystyle f^{-}(B)}$.^[5]

Обратный образ синглетона, обозначаемый ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ или ${\displaystyle f^{-1}[y]}$, называется также слоем для ${\displaystyle y}$ или множеством уровня элемента ${\displaystyle y}$. Множество всех слоёв для элементов ${\displaystyle Y}$ — это семейство подмножеств, индексированных элементами ${\displaystyle Y}$.

Например, для функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ обратным образом ${\displaystyle \{4\}}$ будет ${\displaystyle \{-2,2\}}$. Как было сказано выше, если нет риска путаницы, ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ может обозначаться как ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, а ${\displaystyle f^{-1}}$ можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества ${\displaystyle Y}$ в булеан множества ${\displaystyle X}$. Обозначение ${\displaystyle f^{-1}}$ не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle f}$ является образом ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle f^{-1}}$.

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой^[6] является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами.

• ${\displaystyle f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ для ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ для ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ вместо ${\displaystyle f^{\to }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

• Альтернативным обозначением для ${\displaystyle f[A]}$, используемым в математической логике и теории множеств, является ${\displaystyle f^{\prime \prime }A}$^[7][8].
• Некоторые книги называют образ ${\displaystyle f}$ областью значений ${\displaystyle f}$, но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» широко используется также для обозначения кодомена функции ${\displaystyle f}$.

1. ${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ определена как ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1;\\a,&x=2;\\c,&x=3.\end{matrix}}\right.}$
   Образом множества {2, 3} для функции ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}}$. Образ функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle \{a,c\}}$. Прообразом${\displaystyle a}$ является ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}}$. Прообразом множества ${\displaystyle \{a,b\}}$ также является ${\displaystyle \{1,2\}}$. Прообразом множества ${\displaystyle \{b,d\}}$ является пустое множество${\displaystyle \{\}}$.
2. ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }$ определена как ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.
   Образ${\displaystyle \{-2,3\}}$ для функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\}}$, а образ функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$. Прообраз${\displaystyle \{4,9\}}$ для ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}}$. Прообраз множества ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\}}$ для ${\displaystyle f}$ — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
3. ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} }$ определена как ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$.
   Слои${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, единственной точкой начала координат или пустым множеством в зависимости от значений ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a=0}$ или ${\displaystyle a<0}$ соответственно).
4. Если ${\displaystyle M}$ — это многообразие, а ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ — это каноническая проекция из касательного расслоения${\displaystyle TM}$ в ${\displaystyle M}$, то слоями отображения ${\displaystyle \pi }$ являются касательные пространства${\displaystyle T_{x}(M)}$ для ${\displaystyle x\in M}$. Это также пример расслоённого пространства.
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Для любой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и всех подмножеств ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle B\subseteq Y}$ выполняются следующие свойства:

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Для функций ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ с подмножествами ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle C\subseteq Z}$ выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Для функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и подмножеств ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$ выполняются следующие свойства:

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

(Здесь ${\displaystyle S}$ может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

• Биекция, инъекция и сюръекция^[англ.]
• Образ (теория категорий)^[англ.]
• Ядро (теория множеств)^[англ.]

У этой статьи есть 3 проблемы, помогите их исправить:

Необходимо проверить качество перевода статьи «Image (mathematics)» c английского языка, исправить содержательные и стилистические ошибки.

Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу).
(23 октября 2021)

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка.

Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.(23 октября 2021)

Статья содержит ошибки и/или опечатки.

Необходимо проверить её на соответствие грамматическим, орфографическим или пунктуационным нормам русского языка.(23 октября 2021)

Пожалуйста, после исправления проблемы удалите соответствующий шаблон. Узнать, как это сделать, можно на справочной странице.