Внутренний автоморфизм

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображениеf из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a⁻¹xa.

Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.

Операция x ↦ a⁻¹xa называется сопряжением (см. также «Класс сопряжённости») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.

Фактически, утверждение, что сопряжение x элементом a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

a⁻¹xa = x ⇔ ax = xa.

Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными, служит мерилом коммутативности в группе.

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей G^[1].

Обозначения

Выражение a⁻¹xa часто записывается в виде степени x^a. Эта запись используется, поскольку выполняется правило (x^a)^b = x^ab.

Свойства

Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы G, то есть биективным отображением из G в G. Он является также гомоморфизмом, что означает (xy)^a = x^ay^a.

Внутренний и внешний автоморфизмы групп

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — (x^a)^b = x^ab) и набор всех внутренних автоморфизмов группы G сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы G) и обозначается Inn(G).

Inn(G) является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмовAut(G) группы G. Группа внешних автоморфизмов^[англ.]Out(G) — это факторгруппа

Out(G) ≡ Aut(G)/Inn(G)

Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов G являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы Out(G), но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы Out(G).

Связывая элемент a ∈ G с внутренним автоморфизмом f(x) = x^a в группе Inn(G) как выше, получаем изоморфизм между факторгруппамиG/Z(G) (где Z(G) — центр группы G) и группой внутренних автоморфизмов:

G/Z(G) = Inn(G).

Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах, поскольку Z(G) — это в точности множество тех элементов группы G, которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных p-групп

Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа G конечна и является неабелевой p-группой, то G имеет автоморфизм порядка p в некоторой степени, не являющийся внутренним.

Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева p-группа G имеет автоморфизм порядка p. Вопрос имеет положительный ответ, если G удовлетворяет одному из условий:

Группа G является нильпотентной класса 2
G является регулярной p-группой^[англ.]
G/Z(G) является мощной p-группой^[англ.]
ЦентрализаторC_G группы G центра Zподгруппы Фраттини^[англ.]Φ группы G, C_G∘Z∘Φ(G) не равен Φ(G)

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов Inn(G) тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента) тогда и только тогда, когда группа Gабелева.

Легко показать, что Inn(G) может быть циклической группой, только когда она тривиальна.

Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной. Это выполняется для всех симметрических групп с n элементами, когда n не равно 2 или 6. Если n = 6, симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при n = 2 симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.

Пусть группа G совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии — совершенная группа). Если группа её внутренних автоморфизмов Inn(G)проста, то такая группа G называется квазипростой^[англ.].

Случай кольца

Если задано кольцоR и единицаu из R, отображение f(x) = u⁻¹xu является автоморфизмом кольца R. Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца R. Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца R.

Случай алгебр Ли

Автоморфизм алгебры Ли𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad_g, где Ad является сопряжённым отображением, а g — элемент группы Ли, алгебра которого равна 𝔊. Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Примечания

↑Schupp, 1987, с. 226–228.

Литература

A characterization of inner automorphisms // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1987. — Т. 101, вып. 2. — С. 226–228. — doi:10.2307/2045986. — JSTOR 2045986.

Литература для дальнейшего чтения

A. Abdollahi. Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology // J. Algebra. — 2010. — Т. 323. — С. 779—789. — doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013.
A. Abdollahi. Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p // J. Algebra. — 2007. — Т. 312. — С. 876—879. — doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036.
M. Deaconescu, G. Silberberg. Noninner automorphisms of order p of finite p-groups // J. Algebra. — 2002. — Т. 250. — С. 283—287. — doi:10.1006/jabr.2001.9093.
W. Gaschütz. Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen // J. Algebra. — 1966. — Т. 4. — С. 1—2. — doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7.
H. Liebeck. Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2 // J. London Math. Soc.. — 1965. — Т. 40. — С. 268—275.
В. Н. Ремесленников. Внутренний автоморфизм // Мат. Энциклопедия. — Москва, 1977. — Т. 1. — С. 724.

[_2fdfb3a10a1e345a-1] Schupp, 1987, с. 226–228.

[1]